Potenciação e radiação

Deixo aqui só pra eu me lembrar.

Potenciação

Definições

$$\text{(I) }{a}^n=a\cdot a\text{ (n vezes)}$$ $$\text{(II) }{a}^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ $$\text{(III) }{a}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$

Operações

Multiplicação

Para multiplicar potências de mesma base, soma-se os expoentes:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Divisão

Para dividir potências de mesma base, subtraem-se os expoentes:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0$$

Adição

Potências de mesma base não podem ser somadas diretamente. A adição entre potências segue a operação normal:

$$a^m+a^n=a^m+a^n,m\ne n$$

Se os expoentes forem iguais, podemos fatorar:

$$a^m+a^m=2\cdot a^m$$

Subtração

Assim como na adição, potências de mesma base não podem ser subtraídas diretamente. A operação segue o padrão normal:

$$a^m-a^n=a^m-a^n,m\ne n$$

Se os expoentes forem iguais, podemos fatorar:

$$a^m-a^m=0$$

Radiciação

Definições

$$\text{(I) }\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\text{(radiciac¸a˜o como poteˆncia)}$$ $$\text{(II) }\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\text{(produto dentro da raiz)}$$ $$\text{(III) }\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{(quociente dentro da raiz, }b\ne 0\text{)}$$

Operações

Multiplicação

Para multiplicar raízes de mesmo índice:

$$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$$

Divisão

Para dividir raízes de mesmo índice:

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}},b\ne 0$$

Radiciação de uma Radiciação

Para radiciação de uma radiciação, multiplicam-se os índices:

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$$

Potenciação de uma Raiz

Para elevar uma raiz a um expoente:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}$$

Simplificação de Índices

Quando o índice e o expoente do radicando possuem fatores comuns, podemos simplificar:

$$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$$

Se a fração ( $\frac{m}{n}$ ) permitir simplificar a potência ou calcular a raiz exata, o valor pode ser determinado diretamente:

$$\sqrt[4]{16}=16^{\frac{1}{4}}=2$$

Observações

1. Radicais podem ser convertidos em potências para facilitar cálculos.
2. Em alguns casos, é necessário racionalizar denominadores para evitar raízes no denominador: $$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a},a>0$$